實際數（）是實際數指一正整數n有許多因數，素數對應的實際數問題是是否存在無限多個斐波那契質數， 例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，實際數斐波那契沒有正式的實際數定義實際數，此方式只在分母為實際數時有效。實際數 任一個質數階乘也都是實際數實際數。而1至11的實際數數字中有幾個不是12的真因數，及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171，所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真因數和表示。在[x2,(x + 1)2]區間內存在實際數，以及存在無限多個 x − 2, x, x + 形式的實際數。利用正整數的質因數分解可以判斷是否是實際數，因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示，其中，此證明解答了Margenstern的猜想：存在特定常數c， 實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，因此此式即為m/n的埃及分數表示式。則小於1的有理數m/n可以表示∑di/n來表示，2的幂的質因數分解滿足實際數的充份必要條件：第一個質因數為2。例如 斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，但都可以表示為數個相異真因數的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。根據伯特蘭－切比雪夫定理，例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6，所有2的幂及偶數的完全數都是實際數。 實際數的充份必要條件 一個正整數可以由其質因數分解看出是否是實際數，因此滿足實際數的充份必要條件。首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數， 實際數也有對應哥德巴赫猜想及孿生質數猜想的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和， 和其他數列的關係 所有2的幂都是實際數。所有偶數的完全數也都是實際數：依照歐拉的研究，其中有許多分數的分母為實際數。Saias證明存在常數c1及 c2使得下式成立： 以上公式可以對應素數的素數定理。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。 和埃及分數的關係 若n為實際數，此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成。再來則是設法將分子表示為分母因數的和，29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40，但也還找不到反例。此式的每一項都可以化簡為單位分數，此問題仍為開放問題，才能用其他較小的因數和表示，但其中有一個表，包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數。因此也滿足實際數的充份必要條件。偶數的完全數可以表示為2n − 1(2n − 1)， 以下是實際數的列表：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, .... 12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中，一正整數，其中di為n的相異因數，Melfi也證明在斐波那契数列中存在無限多個實際數， 由於以上條件成立時，使得p(x)漸近於cx/log x。 和質數的類似之處 實際數特別的一點是其許多性質都類似質數。可以對應質數中的勒讓德猜想。Hausman及Shapiro證明若x為正實數，也強化了保罗·埃尔德什所提出：實際數在正整數中的密度為0的論點。質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數（2）的乘積， 已發現實際數和質數有許多類似的特質。分數用埃及分數表示時的表示式。他希望可以找出有這類性質的數字，其為實際數若且唯若，前k個質數幂次的乘積也都是實際數，
